更新时间：2024-01-03 17:20
运动方程是描述结构中力与位移(包括速度和加速度)关系的数学表达式。其建立方法主要有5种，包括牛顿第二定律、D’Alembert 原理、虚位移原理、Hamilton原理和Lagrange方程。
运动方程是描述结构中力与位移(包括速度和加速度)关系的数学表达式。
单质点体系的运动方程：
多自由度体系的运动方程：
运动方程建立主要由以下五种方法，以 图1的单质点体系运动为例。
牛顿第二定律
根据单质点体系的受力分析可以直接写出该单质点体系的运动方程：
牛顿第二定律的优点：
牛顿第二定律是基于物理学中已有知识的直接应用，以人们最容易接受的力学知识建立体系的运动方程。
D’Alembert原理（直接动力平衡法）
在体系运动的任一瞬时，如果除了实际作用结构的主动力（包括阻尼力）和约束反力外，再加上（假想的）惯性力，则在该时刻体系将处于假想的平衡状态（动力平衡）。
其中， 。
D’Alembert原理的优点：
静力问题是人们所熟悉的，有了D’Alembert 原理之后，形式上动力问题就变成了静力问题，静力问题中用来建立控制方程的方法，都可以用于建立动力问题的平衡方程，使对动力问题的思考有一定的简化。对很多问题，D’Alembert原理是用于建立运动方程的最直接、最简便的方法，建立了动力平衡（简称：动平衡）的概念。
虚位移原理
虚位移原理：在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。
虚位移是指满足体系约束条件的无限小位移。设体系发生一个虚位移du，则平衡力系在du上做的总虚功为：
其中， 。
虚位移原理的优点：
虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之上，而虚功是一个标量，可以按代数方式运算，因而比Newton第二定律，或D’Alembert原理中需要采用的矢量运算更简便。
Hamilton原理
可以应用变分法（原理）建立结构体系的运动方程。在数学上，变分问题就是求泛函的极值问题。在这里，泛函就是结构体系中的能量（功）。
体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值,一般是极小值。
Hamilton原理：在任意时间区段[t1, t2]内，体系的动能和位能的变分加上非保守力做功的变分等于0。
其中：
——体系的总动能；
—— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能；
——作用于体系上非保守力(包括阻尼力及任意外荷载)所做的功；
——在指定时间段内所取的变分。
Hamilton原理的优点：
不明显使用惯性力和弹性力，而分别用对动能和位能的变分代替。因而对这两项来讲，仅涉及处理纯的标量，即能量。而在虚位移中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功的力和虚位移则都是矢量。
Lagrange方程
Hamilton原理是一种积分形式的动力问题的变分方法，实际还有另外与之等价的微分形式的动力问题的变分原理，就是运动的Lagrange方程，其表达式如下：
其中：
—— 体系的动能；
—— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能；
——与 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。
Lagrange方程的优点：
得到更多的应用，它和Hamilton原理一样，除非保守力（阻尼力）外，是一个完全的标量分析方法，不必直接分析惯性力和保守力（主要是弹性恢复力），而惯性力和弹性恢复力是建立运动方程时最为困难的处理对象。