2^7 = 128

以此类推。

把等号右边的数字相加，就可以获得任意一个自然数。我们只需要说明：采用了2的几次方，而舍掉了2几次方。二进制的表述序列都从右边开始，第一位是2的0次方，第二位是2的1次方，第三位时2的2次方……，以此类推。一切采用2的成方的位置，我们就用“1”来标志，一切舍掉2的成方的位置，我们就用“0”来标志。这样，我们就得到了下边这个序列：

1 1 1 0 0 1 0 1

2的7次方

2的6次方

2的5次方

2的4次方

2的3次方

2的2次方

2的1次方

2的0次方

128+64+32+0+0+4+0+1=229

在这个例子中，十进制的数字“229”就可以表述为二进制的“11100101”。任何一个二进制数字最左边的一位都是“1”。通过这个方法，用1到9和0这十个数字表述的整个自然数列都可用0和1两个数字来代替。0与1这两个数字很容易被电子化：有电流就是1；没有电流就是0。这就整个现代计算机技术的根本秘密所在。

这份手稿完成的时候，莱布尼茨五十岁。毫无疑问，他是这个作为现代计算机技术的基础的二进制的发明者。而且，在此之前，或者与他同时，似乎没有一个人想到过这个问题。这在数学史上是很罕见的。

莱布尼茨不仅发明了二进制，而且赋予了它宗教的内涵。他在写给当时在中国传教的法国耶稣士会牧师布维（Joachim Bouvet，1662 - 1732）的信中说：

“第一天的伊始是1，也就是上帝。第二天的伊始是2，……到了第七天，一切都有了。所以，这最后的一天也是最完美的。因为，此时世间的一切都已经被创造出来了。因此它被写作‘7’，也就是‘111’（二进制中的111等于十进制的7），而且不包含0。只有当我们仅仅用0和1来表达这个数字时，才能理解，为什么第七天才最完美，为什么7是神圣的数字。特别值得注意的是它（第七天）的特征（写作二进制的111）与三位一体的关联。”

布维是一位汉学大师，他对中国的介绍是17、18世纪欧洲学界中国热最重要的原因之一。布维是莱布尼茨的好朋友，一直与他保持着频繁的书信往来。莱布尼茨曾将很多布维的文章翻译成德文，发表刊行。恰恰是布维向莱布尼茨介绍了《周易》和八卦的系统，并说明了《周易》在中国文化中的权威地位。

八卦是由八个符号组构成的占卜系统，而这些符号分为连续的与间断的横线两种。这两个后来被称为“阴”、“阳”的符号，在莱布尼茨眼中，就是他的二进制的中国翻版。他感到这个来自古老中国文化的符号系统与他的二进制之间的关系实在太明显了，因此断言：二进制乃是具有世界普遍性的、最完美的逻辑语言。

另一个可能引起莱布尼茨对八卦的兴趣的人是坦泽尔（Wilhelm Ernst Tentzel），他当时是图灵根大公爵硬币珍藏室的领导，也是莱布尼茨的好友之一。在他主管的这个硬币珍藏中有一枚印有八卦符号的硬币。

今天，西方学界已经获得了普遍的共识：八卦与二进制没有直接的关系。首先，中国的数字系统是十进制的。其次，依照我们今天掌握的史料，秦、汉以上，中国还没有--在莱布尼茨的二进制意义上的--“零”的概念。

假如说《周易》中系辞的部分讲的阴、阳化生万物就是莱布尼茨所说的0、1为万物之源，这是难以成立的。今本《周易》大概可以分成三个部分，第一是卦，第二是爻，第三是传，即所谓的“十翼”。其中，卦的部分应该是最古老的。从《尚书》、《周礼》、《左传》、《国语》等先秦文献，以及后来的考古发掘，我们对西周初年的龟卜有了初步的认识。但是，对于“易卜”我们几乎没有任何详细可靠的资料。《周易》中的卦也许就是韩宣子所见到的“易象”。无论如何，我们在卦、爻中基本上看不到阴、阳的影子。阴、阳的系统基本上是在《易传》中得到完善的发展与表述的，尽管它的渊源一定早过《易传》。而《易传》显然是十进制的体系。通过《汉书·律历志》的记载，我们不仅可以知道，在《周易》大行于世的时代历算使用的是十进制，而且其中关键数不是1，更不是0，而是2（阴、阳）和3（天、地、人）。（相见拙文《儒家对数学几何的热爱》）

另外，道哲学体系中的重要概念“无”与莱布尼茨的0没有任何直接关系。罗素在《数理哲学道论》中将“0”解释为：一切没有分子的类的类。这正是莱布尼茨心目中的“零”。而罗素的这个解释正是受到了著名德国语言哲学家弗莱格（Gottlob Frege，1848-1925）的著作Grundlage der Arithmetik（《算术基础》）的启发。弗莱格、罗素的数论体系中的“零”换成中国话说，就是一切“无”的总称。而道哲学中的“无”不是却不是很多“无”的总和，而是那一个特定的“无”，是那一个“道”的本质。

简单地说，莱布尼茨以来三百年间，西方的科学家与哲学家作过无数的研究，都不能发现二进制与八卦有什么实质性的联系。而在我们中国，秦汉以下，除去利用对八卦特殊的解释建立哲学系统的努力，我们也基本上看不到对它具有说服力的解释。

二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。二进制数也是采用位置计数法，其位权是以2为底的幂。例如二进制数110.11，其位权的大小顺序为4、2、1、2-1、2-2。

对于有n位整数，m位小数的二进制数用加权系数展开式表示，可写为：

（N）2=an-1×2n-1+an-2×2n-2+……+a1×21+a0×20+a-1×2-1+a-2×2-2+……+a-m×2-m

式中aj表示第j位的系数，它为0和1中的某一个数。

二进制数一般可写为：（an-1an-2…a1a0a-1a-2…a-m）2。

【例1】将二进制数111.01写成加权系数的形式。

解： （111.01）2=1×22+l×21+1×20+1×2-2

二进制数的算术运算的基本规律和十进制数的运算十分相似。最常用的是加法运算和乘法运算。

有四种情况： 0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=0 进位为1

【例2】求 (1101)2+(1011)2 的和

解： 1 1 0 1

+ 1 0 1 1

1 1 0 0 0

有四种情况： 0×0=0

1×0=0

0×1=0

1×1=1

【例3】求 (1110)2 乘(101)2 之积

解： 1 1 1 0

× 1 0 1

1 1 1 0

0 0 0 0

+ 1 1 1 0

1 0 0 0 1 1 0

目前记数使用的印度 ———阿拉伯数码采用 10进位值制原理。其中的 10 进制受自然现象影响而成，公认它与人生有 10 指有关；而位值制却是主观的产物。回顾记数法的历史可以发现，位值制在记数中的重要性远远大于 10 进制，曾被数学史家比喻为字母在文字中的重要性。位值的表现方式是多方面的，其形成过程也是漫长的 。

记数法中的位值思想是指数码符号不仅有其本意表示的数目大小，还要依靠它所在的位置决定该数码在整个数目中的确切数值。 例如印度 ———阿拉伯数码 121，右边的数码 1 表示数 1，中间的 2 因在 10 位上而表示 20，左边同样一个数码 1 因在百位上就表示100。 每位数码之间用加法组合，整个数目表示一百二十一。 又如罗马数码 Ⅳ，右边的 Ⅴ表示 5 ，左边的Ⅰ表示 - 1 ，数码之间也用加法组合 ，整个数目表示 4。

现在通行的印度 ———阿拉伯数码采用 10 进位值制记数法，任何一个自然数都可以表示成 an·10n+ an-1·10 n-1 + ……+ a1·10 + a0 的形式 。 10 叫做进位基数 ， a0 , a1 , …, an 是 1 ,2 , …,9 ,0 这 10 个数码中的某一个 。 所谓位值制就是在书写时省去 10 的乘幂与加号 。 如上述 121 是 1·102 + 2·10 + 1 的简写。 其特点是只用这 10 个数码便可将任何自然数表示出来。从右边算起，数码所在的位置依次称为个位，十位 ，百位等等。一个数码表示什么数值，要看它在什么位置上，这就是“位值”(place value 或 positional value) 的含义 。

古代记数法中采用位值制的主要有巴比伦楔形文字记数法，玛雅记数法，中国的算筹记数法和印度———阿拉伯数码记数法 。 其中巴比伦采用 60 进位记数，玛雅有 20 进位和 18 进位混用记数，中国算筹和印度 ———阿拉伯数码都用 10 进位 。 玛雅人记数自下而上进行，最下面是个位，越往上位数越高；其余的位值制记数法都是自右向左位数依次增大。 虽然进位基数和数码排列方式不尽相同，但在位值的含义上都一致，这反映了人类数学发展的共性。